ТРИГОНОМЕТРИЯ –(от греч. trigwnon – треугольник и metrew – измеряю) – математическая дисциплина, изучающая зависимости между углами и сторонами треугольников и тригонометрические функции.

Термин «тригонометрия» ввел в употребление в 1595 немецкий математик и богослов Варфоломей Питиск, автор учебника по тригонометрии и тригонометрических таблиц. К концу 16 в. большинство тригонометрических функций было уже известно, хотя само это понятия еще не существовало.

В тригонометрии выделяют три вида соотношений: 1) между самими тригонометрическими функциями; 2) между элементами плоского треугольника (тригонометрия на плоскости); 3) между элементами сферического треугольника, т.е. фигуры, высекаемой на сфере тремя плоскостями, проходящими через ее центр. Тригонометрия началась именно с наиболее сложной, сферической части. Она возникла прежде всего из практических нужд. Древние наблюдали за движением небесных светил. Ученые обрабатывали данные измерений, чтобы вести календарь и правильно определять время начала сева и сбора урожая, даты религиозных праздников. По звездам вычисляли местонахождение корабля в море или направление движения каравана в пустыне. Наблюдения за звездным небом с незапамятных времен вели и астрологи.

Естественно, все измерения, связанные с расположением светил на небосводе, – измерения косвенные. Прямые могли быть проведены только на поверхности Земли, но и здесь далеко не всегда удавалось непосредственно определить расстояние между какими-то пунктами и тогда вновь прибегали к косвенным измерениям. Например, вычисляли высоту дерева, сравнивая длину его тени с длиной тени от какого-нибудь шеста, высота которого была известна. Аналогичным образом вычисляли и размеры острова в море. Подобные задачи сводятся к анализу треугольника, в котором одни его элементы выражают через другие. Этим и занимается тригонометрия. А поскольку звезды и планеты представлялись древним точками на небесной сфере, то сначала стала развиваться именно сферическая тригонометрия. Ее считали разделом астрономии.

А начиналось все очень давно. Первые отрывочные сведения по тригонометрии сохранились на клинописных табличках Древнего Вавилона. Астрономы Междуречья научились предсказывать положение Земли и Солнца и именно от них к нам пришла система измерения углов в градусах, минутах и секундах, потому что у вавилонян была принята шестидесятеричная система счисления .

Однако первые по-настоящему важные достижения принадлежат древнегреческим ученым. Например, 12-я и 13-я теоремы второй книги Начал Евклида (конец 4–3 в. до н. э.) выражают по существу теорему косинусов. Во 2 в. до н.э. астроном Гиппарх из Никеи (180–125 до н.э.) составил таблицу для определения соотношений между элементами треугольников. Такие таблицы нужны потому, что значения тригонометрических функций нельзя вычислить по аргументам с помощью арифметических операций. Тригонометрические функции приходилось рассчитывать заранее и хранить в виде таблиц. Гиппарх подсчитал в круге заданного радиуса длины хорд, отвечающих всем углам от 0 до 180°, кратным 7,5°. По существу, это таблица синусов. Труды Гиппарха до нас не дошли, но многие сведения из них включены в Альмагест (II в.) – знаменитое сочинение в 13 книгах греческого астронома и математика Клавдия Птолемея (ум. ок.160 н. э.). Древние греки не знали синусов, косинусов и тангенсов, вместо таблиц этих величин они употребляли таблицы, позволявшие находить хорду окружности по стягиваемой дуге. В Альмагесте автор приводит таблицу длин хорд окружности радиуса в 60 единиц, вычисленных с шагом 0,5° с точностью до 1/3600 единицы, и объясняет, как эта таблица составлялась. Труд Птолемея несколько веков служил введением в тригонометрию для астрономов.

Чтобы понять, как ученые древности составляли тригонометрические таблицы, надо познакомиться с методом Птолемея. Метод основан на теореме – произведение диагоналей вписанного в окружность четырехугольника равно сумме произведений его противоположных сторон.

Пусть ABCD – вписанный четырехугольник, АD – диаметр окружности, а точка O – ее центр (рис. 1). Если известно, как вычислять хорды, стягивающие углы DOC = a и DОВ = b, т. е. сторону СD и диагональ B, то, по теореме Пифагора , из прямоугольных треугольников АDВ и АDС можно найти АВ и АС, а потом, по теореме Птолемея, – BC = (АС ·ВD – АВ ·СD ) /АD , т.е. хорду, стягивающую угол ВОС = b – a. Некоторые хорды, например стороны квадрата, правильных шестиугольника и восьмиугольника, отвечающие углам 90, 60 и 45°, легко определить. Известна также сторона правильного пятиугольника, которая стягивает дугу в 72°. Приведенное выше правило позволяет вычислять хорды для разностей этих углов, например для 12° = 72° – 60°. Кроме того, можно находить хорды половинных углов, однако этого недостаточно, чтобы рассчитать, чему равна хорда дуги в 1°, – хотя бы потому, что все названные углы кратны 3°. Для хорды 1° Птолемей нашел оценку, показав, что она больше 2/3 хорды (3/2)° и меньше 4/3 хорды (3/4)° – двух чисел, совпадающих с достаточной для его таблиц точностью.

Если греки по углам вычисляли хорды, то индийские астрономы в сочинениях 4–5 вв. перешли к полухордам двойной дуги, т.е. в точности к линиям синуса (рис. 2). Они пользовались и линиями косинуса – вернее, не его самого, а «обращенного» синуса, получившего позднее в Европе название «синус-верзус», сейчас эта функция, равная 1 – cos a, уже не употребляется. Впоследствии тот же подход привел к определению тригонометрических функций через отношения сторон прямоугольного треугольника.

За единицу измерения отрезков MP , OP , PA принималась дуговая минута. Так, линия синуса дуги AB = 90° есть OB – радиус окружности; дуга AL , равная радиусу, содержит (округленно) 57°18" = 3438".

Дошедшие до нас индийские таблицы синусов (древнейшая составлена в 4–5 веке н.э.) не столь точны, как птолемеевы; они составлены через 3°45" (т.е. через 1/24 часть дуги квадранта).

Термины «синус» и «косинус» пришли от индийцев, не обошлось и без любопытного недоразумения. Полухорду индийцы называли «ардхаджива» (в переводе с санскрита – «половина тетивы лука»), а потом сократили это слово до «джива». Мусульманские астрономы и математики, получившие знания по тригонометрии от индийцев, восприняли его как «джиба», а затем оно превратилось в «джайб», что на арабском языке означает «выпуклость», «пазуха». Наконец, в 7 в. «джайб» буквально перевели на латынь словом «sinus», которое не имело никакого отношения к обозначаемому им понятию. Санскритское «котиджива» – синус остатка (до 90°), а на латинском – sinus complementi, т.е. синус дополнения, в 17 в. сократилось до слова «косинус». Наименования «тангенс» и «секанс» (в переводе с латинского означающие «касательная» и «секущая») введены в 1583 немецким ученым Финком.

Большой вклад в развитие тригонометрии внесли арабские ученые, например, Аль-Баттани (ок. 900 н.э.). В 10 в. багдадский ученый Мухаммед из Буджана, известный под именем Абу-ль-Вефа (940–997), присоединил к линиям синусов и косинусов линии тангенсов, котангенсов, секансов и косекансов. Он дает им те же определения, которые содержатся и в наших учебниках. Абу-ль-Вефа устанавливает и основные соотношения между этими линиями.

Итак, к концу 10 в. ученые исламского мира уже оперировали, наряду с синусом и косинусом, четырьмя другими функциями – тангенсом, котангенсом, секансом и косекансом; открыли и доказали несколько важных теорем плоской и сферической тригонометрии; использовали окружность единичного радиуса (что позволило толковать тригонометрические функции в современном смысле); придумали полярный треугольник сферического треугольника. Арабские математики составили точные таблицы, например таблицы синусов и тангенсов с шагом в 1" и точностью до 1/700 000 000. Очень важной прикладной задачей была и такая: научиться определять направление на Мекку для пяти ежедневных молитв, где бы ни находился мусульманин.

Особенно большое влияние на развитие тригонометрии оказал Трактат о полном четырехстороннике астронома Насир-эд-Дин из Туса (1201–1274), известного так же под именем ат-Туси. Это было первое в мире сочинение, в котором тригонометрия трактовалась как самостоятельная область математики.

В 12 в. был переведен с арабского языка на латинский ряд астрономических работ, по ним впервые европейцы познакомились с тригонометрией.

Трактат Насир-эд-Дина произвел большое впечатление на немецкого астронома и математика Иоганна Мюллера (1436–1476). Современники больше знали его под именем Региомонтана (так переводится на латинский название его родного города Кенигсберга, ныне – Калининграда). Региомонтан составил обширные таблицы синусов (через 1 минуту с точностью до седьмой значащей цифры). Он впервые отступил от шестидесятиричного деления радиуса и за единицу измерения линии синуса принял одну десятимиллионную часть радиуса. Таким образом, синусы выражались целыми числами, а не шестидесятиричными дробями. До введения десятичных дробей оставался только один шаг, но он потребовал более 100 лет. Труд Региомонтана О треугольниках всех родов пять книг сыграл в европейской математике ту же роль, что и сочинение Насир-эд-Дина в науке мусульманских стран.

За таблицами Региомонтана последовал ряд других, еще более подробных. Друг Коперника Ретик (1514–1576) вместе с несколькими помощниками в течение 30 лет работал над таблицами, законченными и изданными в1596 его учеником Отто. Углы шли через 10"", а радиус делился на 1 000 000 000 000 000 частей, так что синусы имели 15 верных цифр.

Дальнейшее развитие тригонометрии шло по пути накопления и систематизации формул, уточнения основных понятий, становления терминологии и обозначений. Многие европейские математики работали в области тригонометрии. Среди них такие великие ученые, как Николай Коперник (1473–1543), Тихо Браге (1546–1601) и Иоганн Кеплер (1571–1630). Франсуа Виет (1540–1603) дополнил и систематизировал различные случаи решения плоских и сферических треугольников, открыл «плоскую» теорему косинусов и формулы для тригонометрических функций от кратных углов. Исаак Ньютон (1643–1727) разложил эти функции в ряды и открыл путь для их использования в математическом анализе. Леонард Эйлер (1707–1783) ввел и само понятие функции, и принятую в наши дни символику. Величины sin x , cos x и т.д. он рассматривал как функции числа x – радианной меры соответствующего угла. Эйлер давал числу x всевозможные значения: положительные, отрицательные и даже комплексные. Он также обнаружил связь между тригонометрическими функциями и экспонентой комплексного аргумента, что позволило превратить многочисленные и зачастую весьма замысловатые тригонометрические формулы в простые следствия из правил сложения и умножения комплексных чисел. Он же ввел и обратные тригонометрические функции.

К концу 18 в. тригонометрия как наука уже сложилась. Тригонометрические функции нашли применение в математическом анализе, физике, химии, технике – везде, где приходится иметь дело с периодическими процессами и колебаниями – будь то акустика, оптика или качание маятника.

Решение любых треугольников, в конечном счете, сводится к решению прямоугольных треугольников (т.е. таких, у которых один из углов – прямой). Поскольку все прямоугольные треугольники с заданным острым углом подобны друг другу, отношения их соответственных сторон одинаковы. Например, в прямоугольном треугольнике ABC отношение двух его сторон, например, катета а к гипотенузе с , зависит от величины одного из острых углов, например А . Отношения различных пар сторон прямоугольного треугольника и называются тригонометрическими функциями его острого угла. Всего таких отношений в треугольнике шесть, и им отвечают шесть тригонометрических функций (обозначения сторон и углов треугольника на рис. 3).

Так как А + В = 90°, то

sin A = cos B = cos (90° – A ),

A = ctg B = ctg (90° – A ).

Из определений вытекает несколько равенств, связывающих тригонометрические функции одного и того же угла между собой:

С учетом теоремы Пифагора a 2 + b 2 = c 2 можно выразить все шесть функций через какую-нибудь одну. Например, синус и косинус связаны основным тригонометрическим тождеством

sin 2 A + cos 2 A = 1.

Некоторые соотношения между функциями:

Эти формулы справедливы и для тригонометрических функций любого угла, но ими надо пользоваться осторожно, поскольку правые и левые части могут иметь разные области определения.

Есть только два прямоугольных треугольника, у которых и углы «хорошие» (выражаются целым или рациональным числом градусов), и хотя бы одно из отношений сторон рационально. Это равнобедренный треугольник (с углами 45, 45 и 90°) и половина равностороннего треугольника (с углами 30, 60, 90°) – как раз те два случая, когда значения тригонометрических функций удается вычислить прямо по определению. Эти значения приведены в таблице

Тригонометрия в астрономии:

Потребность в решении треугольников раньше всего обнаружилась в астрономии; поэтому, в течение долгого времени тригонометрия развивалась и изучалась как один из разделов астрономии.

Составленные Гиппархом таблицы положений Солнца и Луны позволили предвычислять моменты наступления затмений (с ошибкой 1—2 ч). Гиппарх впервые стал использовать в астрономии методы сферической тригонометрии. Он повысил точность наблюдений, применив для наведения на светило крест нитей в угломерных инструментах — секстантах и квадрантах. Ученый составил огромный по тем временам каталог положений 850 звезд, разделив их по блеску на 6 степеней (звездных величин). Гиппарх ввел географические координаты — широту и долготу, и его можно считать основателем математической географии. (ок. 190 до н. э. — ок. 120 до н. э.)


Полное решение задачи об определении всех элементов плоского или сферического треугольников по трем данным элементам, важные разложения sin пх и cos пх по степеням cos х и sinx. Знание формулы синусов и косинусов кратных дуг дало возможность Виету решить уравнение 45-й степени, предложенное математиком А. Рооменом; Виет показал, что решение этого уравнения сводится к разделению угла на 45 равных частей и что существуют 23 положительных корня этого уравнения. Виет решил задачу Аполлония с помощью линейки и циркуля.
Решение сферических треугольников- одна из задач астрономии Вычислять стороны и углы любого сферического треугольника по трем подходящим образом заданным сторонам или углам позволяют следующие теоремы: (теорема синусов) (теорема косинусов для углов) (теорема косинусов для сторон).

Тригонометрия в физике:

виды колебательных явлений.

Гармоническое колебание — явление периодического изменения какой-либо величины, при котором зависимость от аргумента имеет характер функции синуса или косинуса. Например, гармонически колеблется величина, изменяющаяся во времени следующим образом:

Где х — значение изменяющейся величины, t — время, А — амплитуда колебаний, ω — циклическая частота колебаний, — полная фаза колебаний, r — начальная фаза колебаний.

Механические колебания . Механическими колебаниями

Тригонометрия в природе.

Мы часто задаем вопрос

• Одно из фундаментальных свойств
• - это более или менее регулярные изменения характера и интенсивности биологических процессов.
• Основной земной ритм - суточный.

Тригонометрия в биологии

• Тригонометрия играет важную роль в медицине. С ее помощью иранские ученые открыли формулу сердца - комплексное алгебраически-тригонометрическое равенство, состоящее из 8 выражений, 32 коэффициентов и 33 основных параметров, включая несколько дополнительных для расчетов в случаях аритмии.

• диатоническая гамма 2:3:5

Тригонометрия в архитектуре

• Страховая корпорация Swiss Re в Лондоне

1. Интерпретация

Мы привели лишь малую часть того, где можно встретить тригонометрические функции.. Мы выяснили

Мы доказали, что тригонометрия тесно связана с физикой, встречается в природе, медицине. Можно приводить бесконечно много примеров периодических процессов живой и неживой природы. Все периодические процессы можно описать с помощью тригонометрических функций и изобразить на графиках

Мы думаем, что тригонометрия нашла отражение в нашей жизни, и сферы,

в которых она играет важную роль, будут расширяться.

• Выяснили , что тригонометрия была вызвана к жизни необходимостью производить измерения углов, но со временем развилась и в науку о тригонометрических функциях.
• Доказали
• Думаем

Просмотр содержимого документа
«Данилова Т.В.-сценарий»

МКОУ «Ненецкая общеобразовательная средняя школа – интернат им. А.П.Пырерки»

Учебный проект

" "

Данилова Татьяна Владимировна

Учитель математики

Обоснование актуальности проекта.

Тригонометрия - это раздел математики, изучающий тригонометрические функции. Сложно представить, но с этой наукой мы сталкиваемся не только на уроках математики, но и в нашей повседневной жизни. Вы могли не подозревать об этом, но тригонометрия встречается в таких науках, как физика, биология, не последнюю роль она играет и в медицине, и, что самое интересное, без нее не обошлось даже в музыке и архитектуре.
Слово тригонометрия впервые появляется в 1505 году в заглавии книги немецкого математика Питискуса.
Тригонометрия – слово греческое, и в буквальном переводе означает измерение треугольников (trigonan – треугольник, metreo - измеряю).
Возникновение тригонометрии было тесно связано с землемерием, астрономией и строительным делом.…

Школьник в 14-15 лет не всегда знает, куда пойдет учиться и где будет работать.
Для некоторых профессий ее знание необходимо, т.к. позволяет измерять расстояния до недалёких звёзд в астрономии, между ориентирами в географии, контролировать системы навигации спутников. Принципы тригонометрии, используются и в таких областях, как теория музыки, акустика, оптика, анализ финансовых рынков, электроника, теория вероятностей, статистика, биология, медицина (включая ультразвуковое исследование (УЗИ) и компьютерную томографию), фармацевтика, химия, теория чисел (и, как следствие, криптография), сейсмология, метеорология, океанология, картография, многие разделы физики, топография и геодезия, архитектура, фонетика, экономика, электронная техника, машиностроение, компьютерная графика, кристаллография.

Определение предмета исследования

3. Цели проекта.

Проблемный вопрос
1. Какие понятия тригонометрии чаще всего используются в реальной жизни?
2. Какую роль играет тригонометрия в астрономии, физике, биологии и медицине?
3. Как связаны архитектура, музыка и тригонометрия?

Гипотеза

Проверка гипотезы

Тригонометрия (от греч. trigonon – треугольник, metro – метрия) –

История тригонометрии:

Древние люди вычисляли высоту дерева, сравнивая длину его тени с длиной тени от шеста, высота которого была известна. По звездам вычисляли местонахождение корабля в море.

Следующий шаг в развитии тригонометрии был сделан индийцами в период с V по XII в.

Сам термин косинус появился значительно позднее в работах европейских ученых впервые в конце XVI в.из так называемого «синуса дополнения», т.е. синуса угла, дополняющего данный угол до 90°. «Синус дополнения» или (по латыни) sinus complementi стали сокращенно записывать как sinus co или co -sinus .

В XVII – XIX вв. тригонометрия становится одной из глав математического анализа.

Она находит большое применение в механике, физике и технике, особенно при изучении колебательных движений и других периодических процессов.

Жан Фурье доказал, что всякое периодическое движение может быть представлено (с любой степенью точности) в виде суммы простых гармонических колебаний.

в систему математического анализа.

Где применяется тригонометрия

Тригонометрические вычисления применяются практически во всех сферах жизнедеятельности людей. Следует отметить применение в таких областях как: астрономия, физика, природа, биология, музыка, медицина и многие другие.

Тригонометрия в астрономии:

Потребность в решении треугольников раньше всего обнаружилась в астрономии; поэтому, в течение долгого времени тригонометрия развивалась и изучалась как один из разделов астрономии.

Потребность в решении треугольников раньше всего обнаружилась в астрономии; поэтому, в течение долгого времени тригонометрия развивалась и изучалась как один из разделов астрономии.

Достижения Виета в тригонометрии
Полное решение задачи об определении всех элементов плоского или сферического треугольников по трем данным элементам, важные разложения sin пх и cos пх по степеням cos х и sinx. Знание формулы синусов и косинусов кратных дуг дало возможность Виету решить уравнение 45-й степени, предложенное математиком А. Рооменом; Виет показал, что решение этого уравнения сводится к разделению угла на 45 равных частей и что существуют 23 положительных корня этого уравнения. Виет решил задачу Аполлония с помощью линейки и циркуля.
Решение сферических треугольников- одна из задач астрономии Вычислять стороны и углы любого сферического треугольника по трем подходящим образом заданным сторонам или углам позволяют следующие теоремы: (теорема синусов) (теорема косинусов для углов) (теорема косинусов для сторон).

Тригонометрия в физике:

В окружающем нас мире приходится сталкиваться с периодическими процессами, которые повторяются через одинаковые промежутки времени. Эти процессы называются колебательными. Колебательные явления различной физической природы подчиняются общим закономерностям и описываются одинаковыми уравнениями. Существуют разные виды колебательных явлений.

Гармоническое колебание - явление периодического изменения какой-либо величины, при котором зависимость от аргумента имеет характер функции синуса или косинуса. Например, гармонически колеблется величина, изменяющаяся во времени следующим образом:

Где х - значение изменяющейся величины, t - время, А - амплитуда колебаний, ω - циклическая частота колебаний, - полная фаза колебаний, r - начальная фаза колебаний.

Обобщенное гармоническое колебание в дифференциальном виде x’’ + ω²x = 0.

Механические колебания . Механическими колебаниями называют движения тел, повторяющиеся точно через одинаковые промежутки времени. Графическое изображение этой функции дает наглядное представление о протекании колебательного процесса во времени. Примерами простых механических колебательных систем могут служить груз на пружине или математический маятник.

Тригонометрия в природе.

Мы часто задаем вопрос «Почему мы иногда видим то, чего нет на самом деле?» . Для исследования предложены следующие вопросы: «Как возникает радуга? Северное сияние?», «Что такое оптические иллюзии?» ,«Как тригонометрия может помочь найти ответы на эти вопросы?».

Впервые теория радуги была дана в 1637 году Рене Декартом. Он объяснил радугу, как явление, связанное с отражением и преломлением света в дождевых каплях.

Северное сияние Проникновение в верхние слои атмосферы планет заряженных частиц солнечного ветра определяется взаимодействием магнитного поля планеты с солнечным ветром.

Сила, действующая на движущуюся в магнитном поле заряженную частицу называется силой Лоренца. Она пропорциональна заряду частицы и векторному произведению поля и скорости движения частицы.

Американские ученые утверждают, что мозг оценивает расстояние до объектов, измеряя угол между плоскостью земли и плоскостью зрения.

К тому же в биологии используется такое понятие как синус сонный, синус каротидный и венозный или пещеристый синус.

Тригонометрия играет важную роль в медицине. С ее помощью иранские ученые открыли формулу сердца - комплексное алгебраически-тригонометрическое равенство, состоящее из 8 выражений, 32 коэффициентов и 33 основных параметров, включая несколько дополнительных для расчетов в случаях аритмии.

Одно из фундаментальных свойств живой природы - это цикличность большинства происходящих в ней процессов.

Биологические ритмы, биоритмы

Основной земной ритм – суточный.

Модель биоритмов можно построить с помощью тригонометрических функций.

Тригонометрия в биологии

Какие биологические процессы связаны с тригонометрией?

Тригонометрия играет важную роль в медицине. С ее помощью иранские ученые открыли формулу сердца - комплексное алгебраически-тригонометрическое равенство, состоящее из 8 выражений, 32 коэффициентов и 33 основных параметров, включая несколько дополнительных для расчетов в случаях аритмии.

Биологические ритмы, биоритмы связаны с тригонометрией

Модель биоритмов можно построить с помощью графиков тригонометрических функций. Для этого необходимо ввести дату рождения человека (день, месяц, год) и длительность прогноза

Движение рыб в воде происходит по закону синуса или косинуса, если зафиксировать точку на хвосте, а потом рассмотреть траекторию движения.

Возникновение музыкальной гармонии

Согласно дошедшим из древности преданиям, первыми, кто попытался сделать это, были Пифагор и его ученики.

Частоты, соответствующие одной и той же ноте в первой, второй и т.д. октавах, относятся, как 1:2:4:8…

диатоническая гамма 2:3:5

Тригонометрия в архитектуре

Детская школа Гауди в Барселоне

Страховая корпорация Swiss Re в Лондоне

Феликс Кандела Ресторан в Лос-Манантиалесе

Интерпретация

Мы привели лишь малую часть того, где можно встретить тригонометрические функции.. Мы выяснили, что тригонометрия была вызвана к жизни необходимостью производить измерения углов, но со временем развилась и в науку о тригонометрических функциях.

Мы доказали, что тригонометрия тесно связана с физикой, встречается в природе, медицине. Можно приводить бесконечно много примеров периодических процессов живой и неживой природы. Все периодические процессы можно описать с помощью тригонометрических функций и изобразить на графиках

Мы думаем, что тригонометрия нашла отражение в нашей жизни, и сферы,

в которых она играет важную роль, будут расширяться.

Выяснили , что тригонометрия была вызвана к жизни необходимостью производить измерения углов, но со временем развилась и в науку о тригонометрических функциях.

Доказали , что тригонометрия тесно связана с физикой, встречается в природе, музыке, астрономии и медицине.

Думаем , что тригонометрия нашла отражение в нашей жизни, и сферы, в которых она играет важную роль, будут расширяться.

7. Литература.

Программа Maple6, реализующий изображение графиков

«Википедия»

Учеба.ru

Math.ru «библиотека»

Просмотр содержимого презентации
«Данилова Т.В.»

" Тригонометрия в окружающем нас мире и жизни человека "

Цели исследования:

Связь тригонометрии с реальной жизнью.

Проблемный вопрос 1. Какие понятия тригонометрии чаще всего используются в реальной жизни? 2. Какую роль играет тригонометрия в астрономии, физике, биологии и медицине? 3. Как связаны архитектура, музыка и тригонометрия?

Гипотеза

Большинство физических явлений природы, физиологический процессов, закономерностей в музыке и искусстве можно описать с помощью тригонометрии и тригонометрических функций.

Что такое тригонометрия???

Тригонометрия (от греч. trigonon – треугольник, metro – метрия) – микрораздел математики, в котором изучаются зависимости между величинами углов и длинами сторон треугольников, а также алгебраические тождества тригонометрических функций.

История тригонометрии

Истоки тригонометрии берут начало в древнем Египте, Вавилонии и долине Инда более 3000 лет назад.

Слово тригонометрия впервые встречается в 1505 году в заглавии книги немецкого математика Питискуса.

Впервые способы решения треугольников, основанные на зависимостях между сторонами и углами треугольника, были найдены древнегреческими астрономами Гиппархом и Птолемеем.

Древние люди вычисляли высоту дерева, сравнивая длину его тени с длиной тени от шеста, высота которого была известна.

По звездам вычисляли местонахождение корабля в море.

Следующий шаг в развитии тригонометрии был сделан индийцами в период с V по XII в.

В отличие от греков инд ийцы стали рассматривать и употреблять в вычислениях уже не целую хорду ММ  соответствующего центрального угла, а только ее половину МР, т. е. синуса  - половины центрального угла.

Сам термин косинус появился значительно позднее в работах европейских ученых впервые в конце XVI в.из так называемого « синуса дополнения » , т.е. синуса угла, дополняющего данный угол до 90  . « Синус дополнения » или (по латыни) sinus complementi стали сокращенно записывать как sinus co или co-sinus.

Наряду с синусом индийцы ввели в тригонометрию косинус , точнее говоря, стали употреблять в своих вычислениях линию косинуса. Им были известны также соотношения cos  =sin(90  -  ) и sin 2  +cos 2  =r 2 , а также формулы для синуса суммы и разности двух углов.

В XVII – XIX вв. тригонометрия становится

одной из глав математического анализа.

Она находит большое применение в механике,

физике и технике, особенно при изучении

колебательных движений и других

периодических процессов.

О свойствах периодичности тригонометрических функций знал еще Виет, первые математические исследования которого относились к тригонометрии.

Доказал, что всякое периодическое

движение может быть

представлено (с любой степенью

точности) в виде суммы простых

гармонических колебаний.

Основоположник аналитической

теории

тригонометрических функций .

Леонард Эйлер

Во «Введении в анализ бесконечных» (1748 г)

трактует синус, косинус и т.д. не как

тригонометрические линии, обязательно

связанные с окружностью, а как

тригонометрические функции, которые он

рассматривал как отношения сторон

прямоугольного треугольника, как числовые

величины.

Исключил из своих формул

R – целый синус, принимая

R = 1, и упростил таким

образом записи и вычисления.

Разрабатывает учение

о тригонометрических функциях

любого аргумента.

В XIX веке продолжил

развитие теории

тригонометрических

функций.

Н.И.Лобачевский

« Геометрические рассмотрения,- пишет Лобачевский,- необходимы до тех пор в начале тригонометрии, покуда они не послужат к открытию отличительного свойства тригонометрических функций… Отсюда делается тригонометрия совершенно независимой от геометрии и имеет все достоинства анализа».

Стадии развития тригонометрии:

• Тригонометрия была вызвана к жизни необходимостью производить измерения углов.

• Первыми шагами тригонометрии было установление связей между величиной угла и отношением специально построенных отрезков прямых. Результат - возможность решать плоские треугольники.

• Необходимость табулировать значения вводимых тригонометрических функций.

• Тригонометрические функции превращались в самостоятельные объекты исследований.

• В XVIII в. тригонометрические функции были включены

в систему математического анализа.

Где применяется тригонометрия

Тригонометрические вычисления применяются практически во всех сферах жизнедеятельности людей. Следует отметить применение в таких областях как: астрономия, физика, природа, биология, музыка, медицина и многие другие.

Тригонометрия в астрономии

Потребность в решении треугольников раньше всего обнаружилась в астрономии; поэтому, в течение долгого времени тригонометрия развивалась и изучалась как один из разделов астрономии.

Значительных высот достигла тригонометрия и у индийских средневековых астрономов.

Главным достижением индийских астрономов стала замена хорд

синусами, что позволило вводить различные функции, связанные

со сторонами и углами прямоугольного треугольника.

Таким образом, в Индии было положено начало тригонометрии

как учению о тригонометрических величинах.

Составленные Гиппархом таблицы положений Солнца и Луны позволили предвычислять моменты наступления затмений (с ошибкой 1-2 ч). Гиппарх впервые стал использовать в астрономии методы сферической тригонометрии. Он повысил точность наблюдений, применив для наведения на светило крест нитей в угломерных инструментах - секстантах и квадрантах. Ученый составил огромный по тем временам каталог положений 850 звезд, разделив их по блеску на 6 степеней (звездных величин). Гиппарх ввел географические координаты - широту и долготу, и его можно считать основателем математической географии. (ок. 190 до н. э. - ок. 120 до н. э.)

Гиппарх

Тригонометрия в физике

В окружающем нас мире приходится сталкиваться с периодическими процессами, которые повторяются через одинаковые промежутки времени. Эти процессы называются колебательными. Колебательные явления различной физической природы подчиняются общим закономерностям и описываются одинаковыми уравнениями. Существуют разные виды колебательных явлений, например:

Механические колебания

Гармонические колебания

Гармонические колебания

Гармоническое колебание - явление периодического изменения какой-либо величины, при котором зависимость от аргумента имеет характер функции синуса или косинуса. Например, гармонически колеблется величина, изменяющаяся во времени следующим образом:

или

Где х - значение изменяющейся величины, t - время, А - амплитуда колебаний, ω - циклическая частота колебаний, - полная фаза колебаний, r - начальная фаза колебаний.

Обобщенное гармоническое колебание в дифференциальном виде x’’ + ω²x = 0.

Механические колебания

Механическими колебаниями называют движения тел, повторяющиеся точно через одинаковые промежутки времени. Графическое изображение этой функции дает наглядное представление о протекании колебательного процесса во времени.

Примерами простых механических колебательных систем могут служить груз на пружине или математический маятник.

Математический маятник

На рисунке изображены колебания маятника, он движется по кривой, называемой косинусом.

Траектория пули и проекции векторов на оси X и Y

Из рисунка видно, что проекции векторов на оси Х и У соответственно равны

υ x = υ o cos α

υ y = υ o sin α

Тригонометрия в природе

Мы часто задаем вопрос «Почему мы иногда видим то, чего нет на самом деле?» . Для исследования предложены следующие вопросы: «Как возникает радуга? Северное сияние?», «Что такое оптические иллюзии?» ,«Как тригонометрия может помочь найти ответы на эти вопросы?».

Оптические иллюзии

естественные

искусственные

смешанные

Теория радуги

Радуга возникает из-за того, что солнечный свет испытывает преломление в капельках воды, взвешенных в воздухе по закону преломления:

Впервые теория радуги была дана в 1637 году Рене Декартом. Он объяснил радугу, как явление, связанное с отражением и преломлением света в дождевых каплях.

sin α / sin β = n 1 / n 2

где n 1 =1, n 2 ≈1,33 – соответственно показатели преломления воздуха и воды, α – угол падения, а β – угол преломления света.

Северное сияние

Проникновение в верхние слои атмосферы планет заряженных частиц солнечного ветра определяется взаимодействием магнитного поля планеты с солнечным ветром.

Сила, действующая на движущуюся в магнитном поле заряженную частицу называется силой Лоренца. Она пропорциональна заряду частицы и векторному произведению поля и скорости движения частицы.

• Американские ученые утверждают, что мозг оценивает расстояние до объектов, измеряя угол между плоскостью земли и плоскостью зрения.

• К тому же в биологии используется такое понятие как синус сонный, синус каротидный и венозный или пещеристый синус.

• Тригонометрия играет важную роль в медицине. С ее помощью иранские ученые открыли формулу сердца - комплексное алгебраически-тригонометрическое равенство, состоящее из 8 выражений, 32 коэффициентов и 33 основных параметров, включая несколько дополнительных для расчетов в случаях аритмии.

• Одно из фундаментальных свойств живой природы - это цикличность большинства происходящих в ней процессов.

• Биологические ритмы, биоритмы – это более или менее регулярные изменения характера и интенсивности биологических процессов.

• Основной земной ритм – суточный.

• Модель биоритмов можно построить с помощью тригонометрических функций.

Тригонометрия в биологии

Какие биологические процессы связаны с тригонометрией?

• Тригонометрия играет важную роль в медицине. С ее помощью иранские ученые открыли формулу сердца - комплексное алгебраически-тригонометрическое равенство, состоящее из 8 выражений, 32 коэффициентов и 33 основных параметров, включая несколько дополнительных для расчетов в случаях аритмии.
• Биологические ритмы, биоритмы связаны с тригонометрией.

• Модель биоритмов можно построить с помощью графиков тригонометрических функций.

• Для этого необходимо ввести дату рождения человека (день, месяц, год) и длительность прогноза.

Тригонометрия в биологии

Движение рыб в воде происходит по закону синуса или косинуса, если зафиксировать точку на хвосте, а потом рассмотреть траекторию движения.

При плавании тело рыбы принимает форму кривой, которая напоминает график функции y=tgx.

Возникновение музыкальной гармонии

• Согласно дошедшим из древности преданиям, первыми, кто попытался сделать это, были Пифагор и его ученики.

• Частоты, соответствующие

одной и той же ноте в первой, второй и т.д. октавах, относятся, как 1:2:4:8…

• диатоническая гамма 2:3:5

У музыки есть своя геометрия

Тетраэдр из различных типов аккордов четырех звуков:

синий – малые интервалы;

более теплые тона - более «разряженные» звуки аккорда; красная сфера- наиболее гармоничный аккорд с равными интервалами между нотами.

cos 2 С + sin 2 С = 1

АС – расстояние от верха статуи до глаз человека,

АН – высота статуи,

sin С - синус угла падения взгляда.

Тригонометрия в архитектуре

Детская школа Гауди в Барселоне

Страховая корпорация Swiss Re в Лондоне

y = f (λ)cos θ

z = f (λ)sin θ

Феликс Кандела Ресторан в Лос-Манантиалесе

• Выяснили , что тригонометрия была вызвана к жизни необходимостью производить измерения углов, но со временем развилась и в науку о тригонометрических функциях.

• Доказали , что тригонометрия тесно связана с физикой, встречается в природе, музыке, астрономии и медицине.

• Думаем , что тригонометрия нашла отражение в нашей жизни, и сферы, в которых она играет важную роль, будут расширяться.

Тригонометрия прошла длинный путь развития. И теперь, мы можем с уверенностью сказать, что тригонометрия не зависит от других наук, а другие науки зависят от тригонометрии.

• Маслова Т.Н. «Справочник школьника по математике»
• Программа Maple6, реализующий изображение графиков
• «Википедия»
• Учеба.ru
• Math.ru «библиотека»
• История математики с Древнейших времен до начала XIX столетия в 3-х томах// под ред. А. П. Юшкевича. Москва, 1970г. – том 1-3 Э. Т. Бэлл Творцы математики.
• Предшественники современной математики// под ред. С. Н. Ниро. Москва,1983г. А. Н. Тихонов, Д. П. Костомаров.
• Рассказы о прикладной математике//Москва, 1979г. А. В. Волошинов. Математика и искусство// Москва, 1992г. Газета Математика. Приложение к газете от 1.09.98г.

align=center>

Тригонометрия - микрораздел математики, в котором изучаются зависимости между величинами углов и длинами сторон треугольников, а также алгебраические тождества тригонометрических функций.
Существует множество областей, в которых применяются тригонометрия и тригонометрические функции. Тригонометрия или тригонометрические функции используются в астрономии, в морской и воздушной навигации, в акустике, в оптике, в электронике, в архитектуре и в других областях.

История создания тригонометрии

История тригонометрии, как науки о соотношениях между углами и сторонами треугольника и других геометрических фигур, охватывает более двух тысячелетий. Большинство таких соотношений нельзя выразить с помощью обычных алгебраических операций, и поэтому понадобилось ввести особые тригонометрические функции, первоначально оформлявшиеся в виде числовых таблиц.
Историки полагают, что тригонометрию создали древние астрономы, немного позднее её стали использовать в архитектуре. Со временем область применения тригонометрии постоянно расширялась, в наши дни она включает практически все естественные науки, технику и ряд других областей деятельности.

Ранние века

От вавилонской математики ведёт начало привычное нам измерение углов градусами, минутами и секундами (введение этих единиц в древнегреческую математику обычно приписывают , II век до н. э.).

Главным достижением этого периода стало соотношение катетов и гипотенузы в прямоугольном треугольнике, позже получившее имя теоремы Пифагора .

Древняя Греция

Общее и логически связное изложение тригонометрических соотношений появилось в древнегреческой геометрии. Греческие математики ещё не выделяли тригонометрию как отдельную науку, для них она была частью астрономии.
Основным достижением античной тригонометрической теории стало решение в общем виде задачи «решения треугольников», то есть нахождения неизвестных элементов треугольника, исходя из трёх заданных его элементов (из которых хотя бы один является стороной).
Прикладные тригонометрические задачи отличаются большим разнообразием - например, могут быть заданы измеримые на практике результаты действий над перечисленными величинами (к примеру, сумма углов или отношение длин сторон).
Параллельно с развитием тригонометрии плоскости греки, под влиянием астрономии, далеко продвинули сферическую тригонометрию. В «Началах» Евклида на эту тему имеется только теорема об отношении объёмов шаров разного диаметра, но потребности астрономии и картографии вызвали быстрое развитие сферической тригонометрии и смежных с ней областей - системы небесных координат, теории картографических проекций, технологии астрономических приборов.

Средневековье

В IV веке, после гибели античной науки, центр развития математики переместился в Индию. Они изменили некоторые концепции тригонометрии, приблизив их к современным: к примеру, они первыми ввели в использование косинус.

Первым специализированным трактатом по тригонометрии было сочинение среднеазиатского учёного (X-XI век) «Книга ключей науки астрономии» (995-996 годы). Целый курс тригонометрии содержал главный труд Аль-Бируни - «Канон Мас‘уда» (книга III). В дополнение к таблицам синусов (с шагом 15") Аль-Бируни дал таблицы тангенсов (с шагом 1°).

После того как арабские трактаты были в XII-XIII веках переведены на латынь, многие идеи индийских и персидских математиков стали достоянием европейской науки. По всей видимости, первое знакомство европейцев с тригонометрией состоялось благодаря зиджу , два перевода которого были выполнены в XII веке.

Первым европейским сочинением, целиком посвященным тригонометрии, часто называют «Четыре трактата о прямых и обращенных хордах» английского астронома Ричарда Уоллингфордского (около 1320 г.). Тригонометрические таблицы, чаще переводные с арабского, но иногда и оригинальные, содержатся в сочинениях ряда других авторов XIV-XV веков. Тогда же тригонометрия заняла место среди университетских курсов.

Новое время

Развитие тригонометрии в Новое время стало чрезвычайно важным не только для астрономии и астрологии, но и для других приложений, в первую очередь артиллерии, оптики и навигации при дальних морских путешествиях. Поэтому после XVI века этой темой занимались многие выдающиеся учёные, в том числе Николай Коперник , Иоганн Кеплер , Франсуа Виет . Коперник посвятил тригонометрии две главы в своём трактате «О вращении небесных сфер» (1543). Вскоре (1551) появились 15-значные тригонометрические таблицы Ретика , ученика Коперника. Кеплер опубликовал труд «Оптическая часть астрономии» (1604).

Виет в первой части своего «Математического канона» (1579) поместил разнообразные таблицы, в том числе тригонометрические, а во второй части дал обстоятельное и систематическое, хотя и без доказательств, изложение плоской и сферической тригонометрии. В 1593 году Виет подготовил расширенное издание этого капитального труда.
Благодаря трудам Альбрехта Дюрера , на свет появилась синусоида.

XVIII век

Современный вид тригонометрии придал . В трактате «Введение в анализ бесконечных» (1748) Эйлер дал определение тригонометрических функций, эквивалентное современному, и соответственно определил обратные функции.

Эйлер рассматривал как допустимые отрицательные углы и углы, большие 360°, что позволило определить тригонометрические функции на всей вещественной числовой прямой, а затем продолжить их на комплексную плоскость. Когда встал вопрос о распространении тригонометрических функций на тупые углы, знаки этих функций до Эйлера нередко выбирались ошибочно; многие математики считали, например, косинус и тангенс тупого угла положительными. Эйлер определил эти знаки для углов в разных координатных квадрантах, исходя из формул приведения.
Общей теорией тригонометрических рядов Эйлер не занимался и сходимость полученных рядов не исследовал, но получил несколько важных результатов. В частности, он вывел разложения целых степеней синуса и косинуса.

Применение тригонометрии

По своему правы те, кто говорит, что тригонометрия в реальной жизни не нужна. Ну, каковы ее обычные прикладные задачи? Измерять расстояние между недоступными объектами.
Большое значение имеет техника триангуляции, позволяющая измерять расстояния до недалёких звёзд в астрономии, между ориентирами в географии, контролировать системы навигации спутников. Также следует отметить применение тригонометрии в таких областях, как техника навигации, теория музыки, акустика, оптика, анализ финансовых рынков, электроника, теория вероятностей, статистика, биология, медицина (включая ультразвуковое исследование (УЗИ) и компьютерную томографию), фармацевтика, химия, теория чисел (и, как следствие, криптография), сейсмология, метеорология, океанология, картография, многие разделы физики, топография и геодезия, архитектура, фонетика, экономика, электронная техника, машиностроение, компьютерная графика, кристаллография и т.д.
Вывод: тригонометрия - огромная помощница в нашей повседневной жизни.

Применение тригонометрии в физике и ее задачах

Практическое применение тригонометрических уравнений в реальной жизни

Существует множество областей, в которых применяются тригонометрия. Например, метод триангуляции используется в астрономии для измерения расстояния до ближайших звезд, в географии для измерения расстояний между объектами, а также в спутниковые навигационных системах. Синус и косинус имеют фундаментальное значение для теории периодических функций, например при описании звуковых и световых волн.

Тригонометрия используются в астрономии (особенно для расчётов положения небесных объектов, когда требуется сферическая тригонометрия), в морской и воздушной навигации, в теории музыки, в акустике, в оптике, в анализе финансовых рынков, в электронике, в теории вероятностей, в статистике, в биологии, в медицинской визуализации (например, компьютерная томография и ультразвук), в аптеках, в химии, в теории чисел, в метеорологии, в океанографии, во многих физических науках, в межевании и геодезии, в архитектуре, в фонетике, в экономике, в электротехнике, в машиностроении, в гражданском строительстве, в компьютерной графике, в картографии, в кристаллографии, в разработке игр и многих других областях.

В окружающем нас мире приходится сталкиваться с периодическими процессами, которые повторяются через одинаковые промежутки времени. Эти процессы называются колебательными. Колебательные явления различной физической природы подчиняются общим закономерностям и описываются одинаковыми уравнениями. Существуют разные виды колебательных явлений.

Гармоническое колебание - явление периодического изменения какой-либо величины, при котором зависимость от аргумента имеет характер функции синуса или косинуса. Например, гармонически колеблется величина, изменяющаяся во времени следующим образом:

Где х - значение изменяющейся величины, t - время, А - амплитуда колебаний, ω - циклическая частота колебаний, - полная фаза колебаний, r - начальная фаза колебаний.

Обобщенное гармоническое колебание в дифференциальном виде x’’ + ω²x = 0.

Камень брошен на склоне горы под углом α к ее поверхности. Определите дальность полета камня, если начальная скорость камня равна v 0 , угол наклона горы к горизонту β. Сопротивление воздуха не учитывать.

Решение. Сложное движение камня по параболе нужно представить как результат наложения двух прямолинейных движений: одного вдоль поверхности Земли, другого - по нормали к ней.

Выберем прямоугольную систему координат с началом отсчета в точке бросания камня так, чтобы оси OX и OY совпали с указанными направлениями, и найдем составляющие векторов начальной скорости v 0 и ускорения свободного падения g по осям. Проекции этих составляющих на оси OX и OY равны соответственно:
v 0 cosα v 0 ; -g sinβ -g cosβ

После этого сложное движение можно рассматривать как два более простых: равнозамедленное движение вдоль поверхности Земли с ускорением g sinβ и равнопеременное движение, перпендикулярное склону горы, с ускорением g cosβ .

Составляем уравнения движения для каждого направления с учетом того, что за время t всего движения перемещение камня по нормали к поверхности (по оси OY ) оказалось равным нулю, а вдоль поверхности (по оси OX ) - равным s:

По условию задачи v 0 ,α и β нам заданы, поэтому в составленных уравнениях имеется две неизвестные величины s и t1.

Из первого уравнения определяем время полета камня:

Подставляя это выражение во второе уравнение, находим:

S= v 0 cosα∙ =
=

Анализируя решение приведенной задачи, можно сделать вывод, что математика имеет аппарат и использование его при реализации меж предметной связи физики и математики ведет к осознанию единства мира и интеграции научных знаний.

Математика выступает как своеобразный язык, необходимый для кодирования содержательной физической информации.

Использование меж предметной связи физики и математики ведет к сравниванию этих двух наук и позволяет усиливать качественную теоретическую и практическую подготовку обучаемых.

Потребность в решении треугольников раньше всего обнаружилась в астрономии; поэтому, в течение долгого времени тригонометрия развивалась и изучалась как один из разделов астрономии.

Составленные Гиппархом таблицы положений Солнца и Луны позволили предвычислять моменты наступления затмений (с ошибкой 1-2 ч). Гиппарх впервые стал использовать в астрономии методы сферической тригонометрии. Он повысил точность наблюдений, применив для наведения на светило крест нитей в угломерных инструментах - секстантах и квадрантах. Ученый составил огромный по тем временам каталог положений 850 звезд, разделив их по блеску на 6 степеней (звездных величин). Гиппарх ввел географические координаты - широту и долготу, и его можно считать основателем математической географии. (ок. 190 до н. э. - ок. 120 до н. э.)

И инженерного дела . Большое значение имеет техника триангуляции , позволяющая измерять расстояния до недалёких звёзд в астрономии , между ориентирами в географии , контролировать системы навигации спутников. Также следует отметить применение тригонометрии в таких областях, как теория музыки , акустика , оптика , анализ финансовых рынков, электроника , теория вероятностей , статистика , биология , медицина (включая ультразвуковое исследование (УЗИ) и компьютерную томографию), фармацевтика , химия , теория чисел (и, как следствие, криптография), сейсмология , метеорология , океанология , картография , многие разделы физики , топография и геодезия , архитектура , фонетика , экономика , электронная техника , машиностроение , компьютерная графика , кристаллография .

В Школе СССР имела статус учебного предмета.

Определение тригонометрических функций

Первоначально тригонометрические функции были связаны с соотношениями сторон в прямоугольном треугольнике . Их единственным аргументом является угол (один из острых углов этого треугольника).

• Синус - отношение противолежащего катета к гипотенузе .
• Косинус - отношение прилежащего катета к гипотенузе.
• Тангенс - отношение противолежащего катета к прилежащему.
• Котангенс - отношение прилежащего катета к противолежащему.
• Секанс - отношение гипотенузы к прилежащему катету.
• Косеканс - отношение гипотенузы к противолежащему катету.

Данные определения позволяют вычислить значения функций для острых углов, то есть от 0° до 90° (от 0 до радиан). В XVIII веке Леонард Эйлер дал современные, более общие определения, расширив область определения этих функций на всю числовую ось . Рассмотрим в прямоугольной системе координат окружность единичного радиуса (см. рисунок) и отложим от горизонтальной оси угол (если величина угла положительна, то откладываем против часовой стрелки, иначе по часовой стрелке). Точку пересечения построенной стороны угла с окружностью обозначим A . Тогда:

Для острых углов новые определения совпадают с прежними.

Возможно также чисто аналитическое определение этих функций, которое не связано с геометрией и представляет каждую функцию её разложением в бесконечный ряд.

История

Древняя Греция

Древнегреческие математики в своих построениях, связанных с измерением дуг круга, использовали технику хорд. Перпендикуляр к хорде, опущенный из центра окружности, делит пополам дугу и опирающуюся на неё хорду. Половина поделенной пополам хорды - это синус половинного угла, и поэтому функция синус известна также как «половина хорды». Благодаря этой зависимости, значительное число тригонометрических тождеств и теорем, известных сегодня, были также известны древнегреческим математикам, но в эквивалентной хордовой форме.

Хотя в работах Евклида и Архимеда нет тригонометрии в строгом смысле этого слова, их теоремы представлены в геометрическом виде, эквивалентном специфическим тригонометрическим формулам. Теорема Архимеда для деления хорд эквивалентна формулам для синусов суммы и разности углов. Для компенсации отсутствия таблицы хорд математики времен Аристарха иногда использовали хорошо известную теорему, в современной записи - sin α/ sin β < α/β < tan α/ tan β, где 0° < β < α < 90°, совместно с другими теоремами.

Теорема Птолемея влечёт за собой эквивалентность четырёх формул суммы и разности для синуса и косинуса. Позднее Птолемей вывел формулу половинного угла. Птолемей использовал эти результаты для создания своих тригонометрических таблиц, хотя, возможно, эти таблицы были выведены из работ Гиппарха. Ни таблицы Гиппарха, ни Птолемея не сохранились до настоящего дня, хотя свидетельства других древних авторов снимают сомнения об их существовании.

Средневековая Индия

Другие источники сообщают, что именно замена хорд синусами стала главным достижением Средневековой Индии. Такая замена позволила вводить различные функции, связанные со сторонами и углами прямоугольного треугольника. Таким образом, в Индии было положено начало тригонометрии как учению о тригонометрических величинах.

Индийские учёные пользовались различными тригонометрическими соотношениями, в том числе и теми, которые в современной форме выражаются как

Индийцы также знали формулы для кратных углов , , где .

Тригонометрия необходима для астрономических расчётов, которые оформляются в виде таблиц. Первая таблица синусов имеется в «Сурья-сиддханте» и у Ариабхаты. Позднее учёные составили более подробные таблицы: например, Бхаскара приводит таблицу синусов через 1°.

Южноиндийские математики в 16 веке добивались больших успехов в области суммирования бесконечных числовых рядов. По-видимому, они занимались этими исследованиями, когда искали способы вычисления более точных значений числа π. Нилаканта словесно приводит правила разложения арктангенса в бесконечный степенной ряд. А в анонимном трактате «Каранападдхати» («Техника вычислений») даны правила разложения синуса и косинуса в бесконечные степенные ряды. Нужно сказать, что в Европе к подобным результатам подошли лишь в 17-18 вв. Так, ряды для синуса и косинуса вывел Исаак Ньютон около 1666 г., а ряд арктангенса был найден Дж. Грегори в 1671 г. и Г. В. Лейбницем в 1673 г.

В 8 в. учёные стран Ближнего и Среднего Востока познакомились с трудами индийских математиков и астрономов и перевели их на арабский язык. В середине 9 века среднеазиатский учёный аль-Хорезми написал сочинение «Об индийском счёте». После того как арабские трактаты были переведены на латынь, многие идеи индийских математиков стали достоянием европейской, а затем и мировой науки.

См. также

Примечания

Wikimedia Foundation . 2010 .

• Волков, Александр Мелентьевич
• CP855

Смотреть что такое "Тригонометрия" в других словарях:

тригонометрия - тригонометрия … Орфографический словарь-справочник

ТРИГОНОМЕТРИЯ - (греч., от tri, gonia угол, и metron мера). Часть математики, занимающаяся измерением треугольников. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. ТРИГОНОМЕТРИЯ греч., от trigonon, треугольник, и metreo, меряю.… … Словарь иностранных слов русского языка

ТРИГОНОМЕТРИЯ Современная энциклопедия

Тригонометрия - (от греческого trigonon треугольник и...метрия), раздел математики, в котором изучаются тригонометрические функции и их приложения к геометрии. Отдельные задачи тригонометрии решались астрономами Древней Греции (3 в. до нашей эры);… … Иллюстрированный энциклопедический словарь

ТРИГОНОМЕТРИЯ - (от греч. trigonon треугольник и...метрия) раздел математики, в котором изучаются тригонометрические функции и их приложения к геометрии … Большой Энциклопедический словарь

ТРИГОНОМЕТРИЯ - ТРИГОНОМЕТРИЯ, использование отношений сторон прямоугольного ТРЕУГОЛЬНИКА для вычисления длин и углов в геометрических фигурах. Если известны три стороны треугольника, или две стороны и угол между ними, или одна сторона и два угла, можно… … Научно-технический энциклопедический словарь

ТРИГОНОМЕТРИЯ - ТРИГОНОМЕТРИЯ, тригонометрии, мн. нет, жен. (от греч. trigonos треугольник и metreo мерю) (мат.). Отдел геометрии о соотношениях между сторонами и углами треугольника. Толковый словарь Ушакова. Д.Н. Ушаков. 1935 1940 … Толковый словарь Ушакова

ТРИГОНОМЕТРИЯ - ТРИГОНОМЕТРИЯ, и, жен. Раздел математики, изучающий соотношения между сторонами и углами треугольника. | прил. тригонометрический, ая, ое. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Толковый словарь Ожегова

ТРИГОНОМЕТРИЯ - греч. математика треугольников; наука вычислять что с помощью построения треугольников. трическая съемка и триангуляция, съемка местности по тригонометрии. Толковый словарь Даля. В.И. Даль. 1863 1866 … Толковый словарь Даля

тригонометрия - и, ж. trigonométrie f. <гр. trigonon треугольник + metreo меряю. Отдел геометрии о соотношениях между сторонами и углами треугольника. БАС 1. Началась корпусная комиссия, и я екзаменовался.. Из Арифметики, Геометрии, Тригонометрии плоской и… … Исторический словарь галлицизмов русского языка